Rumus Dasar Turunan Fungsi Aljabar
Berikut daftar rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar :
i). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $ .
dimana $ k \, $ adalah konstanta dan setiap kostanta turunannya adalah nol.
ii). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
dimanan $ n \, $ adalah bilangan real.
iii). $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $
iv). $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
v). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $
dimana $ U \, $ dan $ V \, $ adalah dua buah fungsi yang berbeda.
vi). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $
vii). $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
Catatan :
*). Untuk pembuktian keenam rumus dasar turunan fungsi aljabar dari rumus i sampai v, bisa kita lihat pembuktiannya setelah contoh-contoh soalnya.
*). Sedangkan pembuktian rumus dasar vi dan vii, kita menggunakan aturan rantai yang bisa kita baca pada artikel "aturan rantai turunan fungsi".
i). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $ .
dimana $ k \, $ adalah konstanta dan setiap kostanta turunannya adalah nol.
ii). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
dimanan $ n \, $ adalah bilangan real.
iii). $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $
iv). $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
v). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $
dimana $ U \, $ dan $ V \, $ adalah dua buah fungsi yang berbeda.
vi). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $
vii). $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
Catatan :
*). Untuk pembuktian keenam rumus dasar turunan fungsi aljabar dari rumus i sampai v, bisa kita lihat pembuktiannya setelah contoh-contoh soalnya.
*). Sedangkan pembuktian rumus dasar vi dan vii, kita menggunakan aturan rantai yang bisa kita baca pada artikel "aturan rantai turunan fungsi".
1). Tentukan turunan fungsi aljabar berikut :
a). $ y = 3 $
b). $ y = x^5 $
c). $ y = \frac{5}{x^2} $
d). $ y = 3\sqrt{x} $
e). $ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } $
f). $ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} $
Penyelesaian :
a). Turunan konstanta adalah nol (rumus dasar i).
$ y = 3 \rightarrow y^\prime = 0 $
b). Rumus dasar ii) dengan $ n = 5 $
$ y = x^5 \rightarrow y^\prime = n.x^{n-1} = 5.x^{5-1} = 5x^4 $
c). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{5}{x^2} = 5 x^{-2} \rightarrow y^\prime = n . a . x^{n-1} = (-2). 5. x^{(-2) - 1} = -10x^{-3} = \frac{-10}{x^3} $
d). Gunakan rumus dasar ii, dan sifat eksponen,
$ y = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{1}{2}. 3. x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \frac{1}{x^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
e). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } = \frac{2}{3x^1. x^\frac{1}{2} } = \frac{2}{3x^\frac{3}{2} } = \frac{2}{3} x^{-\frac{3}{2}} $
$ y^\prime = n.a.x^{n-1} = -\frac{3}{2} . \frac{2}{3} . x^{-\frac{3}{2} - 1 } = - x^{-\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^2.x^\frac{1}{2}} = \frac{-1}{x^2\sqrt{x}} $
f). Rumus dasar ii, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} = \frac{3}{2}x^\frac{3}{5} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{3}{5}. \frac{3}{2}.x^{\frac{3}{5} - 1} = \frac{9}{10} x^{-\frac{2}{5}} = \frac{9}{10} \frac{1}{ x^{\frac{2}{5}} } = \frac{9}{10 \sqrt[5]{x^2}} $
2). Tentukan turunan ($ f^\prime (x) $) dari setiap fungsi berikut.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 $
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan turunan fungsi-fungsinya, kita gunakan rumus dasar iii. Rumus dasar iii itu maksudnya setiap suku masing-masing diturunkan.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
Misalkan :
$ U = 3x^2 \rightarrow U^\prime = 2.3.x^{2-1} = 6x $
$ V = 2x= 2x = 2x^1 \rightarrow V^\prime = 1.2.x^{1-1} = 2 . x^0 = 2.1 = 2 $
Untuk fungsi yang variabelnya pangkat satu : $ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
Turunan fungsinya adalah :
$ f(x) = U- V \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime - V^\prime = 6x - 2 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 = 2x^\frac{1}{2} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} . 2 . x^{\frac{1}{2} - 1 } + 3.5.x^{3-1} - 0 = x^{-\frac{1}{2}} + 15x^2 = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 5.x^{5-1} + 3.2.x{3-1} - 3 + 0 = 5x^4 + 6x^2 - 3 $
3). Tentukan turunan fungsi aljabar dari fungsi $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar iv). Sebenarnya setiap fungsi bisa dikalikan terlebih dahulu kemudian diturunkan menggunakan rumus dasar iii dan ii.
a). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Misalkan :
$ U = (x^2-1) \rightarrow U^\prime = 2x - 0 = 2x $
$ V = (2x^3 + x) \rightarrow V^\prime = 6x^2 + 1 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = UV \\ y^\prime & = U^\prime . V + U. V^\prime \\ & = 2x. (2x^3 + x) + (x^2-1).( 6x^2 + 1) \\ & = 4x^4 + 2x^2 + ( 6x^4 + x^2 - 6x^2 - 1 ) \\ & = 10x^4 - 3x^2 - 1 \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 10x^4 - 3x^2 - 1 $
4). Tentukan turunan fungsi $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar v).
Misalkan :
Misalkan :
$ U = x^2 + 2 \rightarrow U^\prime = 2x + 0 = 2x $
$ V = 3x - 5 \rightarrow V^\prime = 3 - 0 = 3 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x . (3x - 5) - (x^2 + 2). 3}{(3x - 5)^2} \\ & = \frac{6x^2 - 10x - 3x^2 - 6}{9x^2 -30x + 25} \\ & = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $
5). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = 2x^2 - 3x + 8 \rightarrow g^\prime (x) = 4x - 3 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = [g(x)]^n = (2x^2 - 3x + 8)^{10} \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = 10.(2x^2 - 3x + 8)^{10-1} . (4x - 3) \\ & = 10.(4x - 3) . (2x^2 - 3x + 8)^{10-1} \\ & = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 $
6). Diketahui fungsi $ f(2x - 1) = 3x^2 + 2x + 5 \, , $ tentukan nilai $ f^\prime (3) $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus dasar vii.
Misalkan : $ g(x) = 2x - 1 \rightarrow g^\prime (x) = 2 - 0 = 2 $
Sehingga :
$ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
$ y = f[2x-1] \rightarrow y^\prime = f^\prime [ 2x-1] . 2 $
$ y = f(2x-1) \rightarrow y^\prime = 2f^\prime [ 2x-1] $
*). Kedua ruas fungsi kita turunkan dari fungsi $ f(2x - 1) = 3x^2 + 2x + 5 $
$ \begin{align} f(2x - 1) & = 3x^2 + 2x + 5 \, \, \, \, \, \text{(turunkan kedua ruas)} \\ 2f^\prime (2x - 1) & = 6x + 2 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ f^\prime (2x - 1) & = 3x + 1 \end{align} $
*). Agar diperoleh nilai $ f^\prime (3) \, $ maka bentuk $ f^\prime (2x - 1) = f^\prime (3) \, $
artinya $ 2x-1 = 3 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2 $
*). Substitusi nilai $ x = 2 \, $ ke bentuk turunannya :
$ \begin{align} x = 2 \rightarrow f^\prime (2x - 1) & = 3x + 1 \\ f^\prime (2.2 - 1) & = 3.2 + 1 \\ f^\prime (4 - 1) & = 6 + 1 \\ f^\prime (3) & = 7 \end{align} $
Jadi, diperoleh nilai $ f^\prime (3) = 7 $ .
7). Tentukan nilai $ f^\prime (1) \, $ dari masing-masing fungsi berikut,
a). $ y = x^5 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
d). $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $
e). $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $
Penyelesaian :
*). Turunan dari setiap fungsi sudah ada pada soal-soal sebelumnya. nilai $ f^\prime (1) \, $ artinya $ f^\prime (x) \, $ untuk $ x = 1 $ .
a). $ y = x^5 \rightarrow f^\prime (x) = 5x^4 $
Sehingga : $ f^\prime (1) = 5.1^4 = 5. 1 = 5 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
Sehingga $ f^\prime (1) = \frac{1}{\sqrt{1} } + 15.1^2 = 1 + 15 = 16 $
c). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
$ f^\prime (x) = 10x^4 - 3x^2 - 1 $
Sehingga : $ f^\prime (1) = 10.1^4 - 3.1^2 - 1 = 10 - 3 - 1 = 6 $
d). $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $
$ f^\prime (x) = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $
Sehingga : $ f^\prime (1) = \frac{3.1^2 - 10.1 - 6}{9.1^2 -30.1 + 25} = \frac{3 - 10 - 6}{9 - 30 + 25} = \frac{-13}{4} $
e). $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $
$ f^\prime (x) = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 $
Sehingga :
$ f^\prime (1) = (40.1 - 30) (2.1^2 - 3.1 + 8)^9 = (40 - 30).(2 - 3 + 8)^9 = 10. (7)^9 = 10.7^9 $
8). Diketahui fungsi $ f(x) \, $ berikut,
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 & , \text{ untuk } x < 1 \\ ax+b & , \text{ untuk } x \geq 1 \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ a $ dan $ b $ agar fungsi $ f(x) \, $ mempunyai turunan di $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Dari fungsi di atas, kita peroleh :
sebelah kiri 1 berlaku $ f(x) = x^2 \, $ dan sebelah kanan 1 berlaku $ f(x) = ax+b $ .
*). Syarat fungsi $ f(x) \, $ mempunyai turunan di $ x = 1 \, $ syaratnya fungsi $ f(x) \, $ kontinu di $ x = 1 $ .
Syarat kontinu di $ x = 1 \, $ adalah $ \, \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) = f(1) $
Khususnya : $ \displaystyle \lim_{x \to 1^- } f(x) = f(1) $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1^- } f(x) & = f(1) \\ \displaystyle \lim_{x \to 1^- } x^2 & = a.1 + b \\ 1^2 & = a + b \\ a + b & = 1 \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan dari kiri dan kanan $ x = 1 $ ,
Untuk $ x = 1^- \rightarrow f(x) = x^2 \rightarrow f^\prime (x) = 2x \rightarrow f^\prime (1^-) = 2.1 = 2 $
Untuk $ x = 1^+ \rightarrow f(x) = ax + b \rightarrow f^\prime (x) = a \rightarrow f^\prime (1^+) = a $
*). Agar fungsi mempunyai turunan di $ x = 1 \, $ , maka haruslah $ f^\prime (1^+) = f^\prime (1^-) $
$ \begin{align} f^\prime (1^+) & = f^\prime (1^-) \\ a & = 2 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ a = 2 \, $ ke pers(i) :
$ a + b = 1 \rightarrow 2 + b = 1 \rightarrow b = 1 - 2 = -1 $
Jadi, nilai $ a = 2 \, $ dan $ b = -1 $ .
9). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} $ ?
Penyelesaian :
*). Sifat eksponen : $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} \, $ dan $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
Sehingga bentuk : $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{1}{2} $
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{x^3 + 2x -1} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{1}{2} \\ y & = [g(x)]^n \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = \frac{1}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}-1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.(x^3 + 2x -1)^{-\frac{1}{2}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{x^3 + 2x -1 }} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1 }} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1 }} $
Cara II :
Untuk turunan dalam bentuk akar, kita langsung menggunakan :
$ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $
Turunan : $ y = \sqrt{x^3 + 2x -1} $
Misalkan : $ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
*). Menentukan turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{x^3 + 2x -1} \\ y & = \sqrt{g(x)} \\ y^\prime & = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} \\ y^\prime & = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x -1}} \end{align} $
10). Tentukan turunan fungsi aljabar $ y = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} $ ?
Penyelesaian :
*). Sifat eksponen : $ \sqrt{a^m} = a^\frac{m}{2} \, $
Sehingga bentuk : $ y = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{3}{2} $
*). Kita gunakan rumus dasar vi.
Misalkan :
$ g(x) = x^3 + 2x -1 \rightarrow g^\prime (x) = 3x^2 + 2 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{(x^3 + 2x -1)^3} \rightarrow y = (x^3 + 2x -1)^\frac{3}{2} \\ y & = [g(x)]^n \\ y^\prime & = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ & = \frac{3}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{3}{2}-1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2}.(x^3 + 2x -1)^{\frac{1}{2}} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2}. \sqrt{x^3 + 2x - 1} . (3x^2 + 2) \\ & = \frac{3}{2} (3x^2 + 2) \sqrt{x^3 + 2x - 1} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3}{2} (3x^2 + 2) \sqrt{x^3 + 2x - 1} $
Pembuktian Rumus Dasar Turunan Fungsi Aljabar
Untuk membuktikan rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar di atas, kita menggunakan definisi turunan, yaitu :
$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.
Dibawah ini adalah pembuktian rumus dasar dari rumus i sampai v.
$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.
Dibawah ini adalah pembuktian rumus dasar dari rumus i sampai v.
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = k \rightarrow f(x) = k $
$ f(x+h) = k $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ k - k}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ 0}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 0 \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = k \rightarrow f^\prime (x) = 0 $
>
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
*). Bentuk Binomial Newton:
$ (x + h)^n = x^n + C_1^n x^{n-1}h^1 + C_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ C_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + h^n $
*). Kombinasi : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!r!} $
Sehingga : $ C_1^n = \frac{n!}{(n-1)!.1!} = \frac{n.n(n-1)!}{(n-1)!} = n $
Dengan $ n! = n.(n-1).(n-2)....3.2.1 \, $ . Misalkan : $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = ax^n \rightarrow f(x) = ax^n $
$ f(x+h) = a(x+h)^n = a(x^n + C_1^n x^{n-1}h^1 + C_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ C_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + h^n) $
$ f(x+h) = ax^n + aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ (ax^n + aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n) - ax^n}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ aC_1^n x^{n-1}h^1 + aC_2^n x^{n-2}h^2 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-1} + ah^n }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } aC_1^n x^{n-1} + aC_2^n x^{n-2}h^1 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}h^{n-2} + ah^{n-1} \\ & = aC_1^n x^{n-1} + aC_2^n x^{n-2}.0 + ...+ aC_{n-1}^n x^{n}.0^{n-2} + a.0^{n-1} \\ & = aC_1^n x^{n-1} + 0 + ...+ 0 + 0 \\ & = aC_1^n x^{n-1} \\ & = an x^{n-1} \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = ax^n \rightarrow f^\prime (x) = n.a.x^{n-1} = nax^{n-1} $
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $
Pertama : $ f(x) = U(x) + V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) + V^\prime (x) $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ f(x) = U(x) + V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h) + V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [U(x+h) + V(x+h)] - [U(hx) + V(x)] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) + V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = U^\prime (x) + V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = U(x) + V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) + V^\prime (x) $
Kedua : $ f(x) = U(x) - V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) - V^\prime (x) $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ f(x) = U(x) - V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h) - V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [U(x+h) - V(x+h)] - [U(x) - V(x)] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - V(x+h) - U(x) + V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) - V(x+h) + V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) - [V(x+h) - V(x) ]}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} - \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} - \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = U^\prime (x) - V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ f(x) = U(x) - V(x) \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime (x) - V^\prime (x) $
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = U.V \rightarrow f(x) = U(x).V(x) $
$ f(x+h) = U(x+h).V(x+h) $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h).V(x+h) - U(x).V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h).V(x+h) - U(x).V(x) + [U(x+h).V(x) - U(x+h).V(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [ U(x+h).V(x+h) - U(x+h).V(x) ] + [ U(x+h).V(x) - U(x).V(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) - V(x) ] + V(x) [ U(x+h) - U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) - V(x) ] }{h} + \frac{ V(x) [ U(x+h) - U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h)[V(x+h) - V(x) ] }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x) [ U(x+h) - U(x) ] }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \frac{V(x+h) - V(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \frac{V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ U(x+h) - U(x) }{h} + \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x+h) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{V(x+h) - V(x) }{h} \\ & = V(x) . U^\prime (x) + U(x+0) . V^\prime (x) \\ & = V(x) . U^\prime (x) + U(x) . V^\prime (x) \\ & = U^\prime (x) . V(x) + U(x) . V^\prime (x) \end{align} $
Jadi, terbukti : $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $
$\clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $
*). Menentukan fungsi :
fungsi : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow f(x) = \frac{U(x)}{V(x)} $
$ f(x+h) = \frac{U(x+h)}{V(x+h)} $
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{U(x+h)}{V(x+h)} - \frac{U(x)}{V(x)} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{V(x).U(x+h) - U(x). V(x+h) }{V(x).V(x+h)} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x).U(x+h) - U(x). V(x+h) }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x).U(x+h) + [ - V(x).U(x) + U(x).V(x) ] - U(x). V(x+h) }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [V(x).U(x+h) - V(x).U(x) ] + [ U(x).V(x) - U(x). V(x+h) ] }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ V(x)[U(x+h) - U(x) ] + U(x)[ V(x) - V(x+h) ] }{h . V(x).V(x+h) } \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ \frac{V(x)[U(x+h) - U(x) ]}{h} - \frac{U(x)[ V(x+h) - V(x) ]}{h} }{V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{V(x)[U(x+h) - U(x) ]}{h} - \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{U(x)[ V(x+h) - V(x) ]}{h} }{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{[U(x+h) - U(x) ]}{h} - \displaystyle \lim_{ h \to 0 } U(x) \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{[ V(x+h) - V(x) ]}{h} }{ \displaystyle \lim_{ h \to 0 } V(x).V(x+h) } \\ & = \frac{ V(x) U^\prime (x) - U(x) V^\prime (x) }{ V(x).V(x+0) } \\ & = \frac{ U^\prime (x) . V(x) - U(x) . V^\prime (x) }{ V(x).V(x) } \\ & = \frac{ U^\prime (x) . V(x) - U(x) . V^\prime (x) }{ [V(x)]^2 } \end{align} $
Jadi, terbukti : $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $
