Pertidaksamaan Kuadrat

         Blog Koma - Pertidaksamaan Kuadrat erat kaitannya dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Untuk memudahkan dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, sebaiknya baca dulu materi "Pertidaksamaan secar umum" dan "sifat-sifat pertidaksamaan".

Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

       Pertidaksamaan kuadrat merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya dua.

$\spadesuit$ Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat
$ax^2 + bx + c < 0, \, ax^2 + bx + c > 0,$
$ax^2 + bx + c \leq 0, \, ax^2 + bx + c \geq 0$
dengan $a \neq 0 , \,$ dan $a,b,c \in R$

$\spadesuit$ Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum"

$\spadesuit$ Kasus Definit.
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ax^2 + bx + c \,$ selalu positif untuk semua nilai $x$. Syarat definit positif : $a > 0 , \,$ dan $D < 0$
*). Definit negatif artinya nilai $ax^2 + bx + c \,$ selalu negatif untuk semua nilai $x$. Syarat definit negatif : $a < 0 , \,$ dan $D < 0$
nilai Disriminan : $D = b^2 - 4ac$

Contoh :
1). Nilai $x \,$ yang memenuhi pertidaksamaan $x^2 - x - 6 < 0 \,$ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit$ Menentukan akar-akar
$\begin{align} x^2 - x - 6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align}$
$\clubsuit$ Garis bilangan

Jadi, solusinya HP = $\{ -2 < x < 3 \}$

2). Tentukan himpunan penyelesaian dari
a). $2x^2 - 3x + 4 > 0 \, \, \,$ b). $-x^2 + 2x - 3 > 0$
Penyelesaian :
a). $2x^2 - 3x + 4 > 0$
Bentuk $2x^2 - 3x + 4 = 0 \,$ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol. $D = b^2 -4ac = (-3)^2 - 4.2.4 = 9 - 32 = - 23$ . Diperoleh nilai $a = 2 > 0 , \,$ dan nilai $D < 0$ . Karena nilai $a > 0 \,$ dan $D < 0 , \,$ artinya terjadi kasusu definit positif, sehingga semua nilai $x \,$ pasti memenuhi $2x^2 - 3x + 4 > 0 \,$ (positif).
Jadi, solusinya HP = $\{ x \in R \} \,$.
(artinya semua nilai $x \,$ memenuhi pertidaksamaan)

b). $-x^2 + 2x - 3 > 0$
Bentuk $-x^2 + 2x - 3 = 0 \,$ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya negatif. $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4.(-1).(-3) = 4 - 12 = -8$
Diperoleh nilai $a = -1 < 0 \,$ dan $D < 0 \,$ . Karena nilai $a < 0 \,$ dan $D < 0 \,$ artinya terjadi kasus definit negatif, sehingga untuk semua nilai $x \,$ nilai $-x^2 + 2x - 3 \,$ adalah negatif. ($-x^2 + 2x - 3 < 0$).
Sementara pada soal yang diminta adalah $-x^2 + 2x - 3 > 0 \,$ (positif), sehingga tidak ada nilai $x \,$ yang memenuhi $-x^2 + 2x - 3 > 0 .$
Jadi, solusinya HP = $\{ \}$ (Himpunan kosong).

3). Jika himpunan penyelesaian $2x^2 + 5x - 3 \geq 0 \,$ adalah $x \leq a \,$ atau $x \geq b, \,$
maka nilai $2b - a = ...$ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit$ Menentukan akar-akar
$2x^2 + 5x - 3 = 0 \rightarrow (2x-1)(x+3)=0 \rightarrow x = \frac{1}{2} \vee x = -3$
$\spadesuit$ Garis bilangannya

Jadi, HP = $\{ x \leq -3 \vee x \geq \frac{1}{2} \}$
$\spadesuit$ Karena solusinya $x \leq a \,$ atau $x \geq b \,$ sama dengan $x \leq -3 \,$ atau $x \geq \frac{1}{2}, \,$ maka nilai $a = -3 \,$ dan $b = \frac{1}{2}$
Sehingga nilai $2b - a = 2 . \frac{1}{2} - (-3) = 1 + 3 = 4$
Jadi, nilai $2b - a = 4$

4). Tentukan nilai $p \,$ agar setiap nilai $x \,$ memenuhi pertidaksamaan $(p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) > 0$
Penyelesaian :
$\clubsuit$ Bentuk $(p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) \rightarrow a = p+1, \, b = 2, \, c = - \frac{p-4}{4}$
$\clubsuit$ Ini kasus definit positif karena setiap nilai $x \,$ nilai $(p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) > 0 \,$ selalu positif.
$\clubsuit$ Syarat definit positif : $a > 0 \,$ dan $D < 0$
*). $a > 0 \rightarrow p + 1 > 0 \rightarrow p > -1 \,$ ....(HP1)
*). $D < 0$
$\begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ 2^2 - 4.(p+1).\left( - \frac{p-4}{4} \right) & < 0 \\ 4 + (p+1).(p-4) & < 0 \\ 4 + p^2 - 3p - 4 & < 0 \\ p^2 - 3p & < 0 \\ p(p-3) & < 0 \\ p = 0 \vee p & = 3 \end{align}$

HP2 = $\{ 0 < p < 3 \}$
Sehingga solusinya :
$HP = HP1 \cap HP2 = \{ p > -1 \} \cap \{ 0 < p < 3 \} = \{ 0 < p < 3 \}$
Jadi, nilai $p \,$ yang memenuhi adalah $\{ 0 < p < 3 \}$

5). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
a. $(x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 \, \, \, \,$ b. $(x-1)(-x^2+2x-3) \geq 0$
Penyelesaian :
a). Menentukan akar-akar dari $(x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0$
*). Bentuk $x^2-4x+5 = 0 \,$ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D<0$). Nilai $a = 1 > 0 \,$ , artinya $x^2-4x+5 \,$ definit positif. Karena $x^2-4x+5 \,$ definit positif, maka untuk setiap $x \,$ tidak mempengaruhi pertidaksamaan, sehingga bisa diabaikan/dicoret dengan menganggap sebagai konstanta yang selalu positif. Pertidaksamaan menjadi :
$(x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 \,$ ekuivalen(setara) dengan $x^2+x-2 < 0$
*). Menentukan akar-akar dari $x^2+x-2 < 0$
$x^2+x-2 = 0 \rightarrow (x+2)(x-1) = 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 1$

Jadi, solusinya HP = $\{ -2 < x < 1 \}$

b). Menentukan akar-akar dari $-x^2+2x-3 = 0$
*). Bentuk $-x^2+2x-3 \,$ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D<0$). Nilai $a = -1 < 0 \,$ , artinya $-x^2+2x-3 \,$ definit negatif. Karena $-x^2+2x-3 \,$ definit negatif, maka $-x^2+2x-3 \,$ bisa dicoret dengan menganggap sebagai konstanta dan tanda ketaksamaan dibalik (definit negatif). Pertidaksamaan menjadi :
$(x-1)(-x^2+2x-3) \geq 0 \,$ ekuivalen(setara) $(x-1) \leq 0$
*). Penyelesaian : $x - 1 \leq 0 \rightarrow x \leq 1$
Jadi, HP = $\{ x \leq 1 \}$

6). Untuk $p \in R \,$ dan $-3 < p < 5 , \,$ tentukan semua nilai $x \,$ yang memnuhi $(x^2-px + 7)(x-1)^2(x+2) > 0 \,$ !
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akar
Untuk $- 3 < p < 5, \,$ bentuk $x^2-px + 7 \,$ tidak punya akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D=b^2-4ac = (-p)2 - 4.1.7 = p^2 - 28 < 0 \,$ dengan $-3 < p < 5$) . Nilai $a = 1 > 0 \,$ , artinya $x^2-px + 7 \,$ definit positif dan tidak mempengaruhi pertidaksamaan. Pertidaksamaan menjadi :
$(x^2-px + 7)(x-1)^2(x+2) > 0 \,$ ekuivalen $(x-1)^2(x+2) > 0$
*). $(x-1)^2(x+2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2$

Jadi, HP = $\{ -2 < x < 1 \,$ atau $\, x > 1 \}$